Kunststoffbauteile sind oft langzeitigen Belastungen ausgesetzt. Zur simulativen Beschreibung des Verhaltens solcher Bauteile ist die korrekte Anwendung geeigneter Materialmodelle grundlegend. Hierbei treten in der Praxis häufig zwei Probleme auf: Erstens, die Vorgehensweise zur Ermittlung der Materialmodellparameter ist unklar. Zweitens liegen oft langzeitige experimentelle Werkstoffdaten nicht in geeigneter Form vor, was jedoch Voraussetzung zur Ermittlung der Modellparameter ist.
In diesem Artikel wird die Anwendung des Bailey-Norton Materialmodells erläutert. Das Bailey-Norton Modell ist nicht das einfachst denkbare Modell für langzeitige Belastungen. In unserem Blog-Artikel „Simulation des langzeitigen Verhaltens von Kunststoffbauteilen“, werden einfachere abschätzende Methoden vorgestellt. Manchmal ist es jedoch unerlässlich, dass nicht nur ein Deformationszustand zu einem bestimmten Zeitpunkt gesucht wird, sondern der vollständige zeitabhängige Deformationsverlauf. In diesen Fällen kann unter bestimmten Annahmen das Bailey-Norton verwendet werden.
Das Bailey-Norton Modell verstehen
Das Bailey-Norton Modell wird häufig zur FEM-Simulation des Verhaltens von Materialien unter langzeitigen statischen Belastungen verwendet. Der Vorteil des Modells ist, dass es in der Regel in kommerziellen FEM-Programmen standardmäßig vorhanden ist. Das Modell wird üblicherweise über die Kriechrate mathematisch beschrieben:
(1)
Die Gleichung (1) stellt das Bailey-Norton Modell in der sogenannten time hardening Form dar. Alternativ existiert eine im Ergebnis äquivalente strain hardening Form, auf die hier nicht weiter eingegangen wird. Das Modell stellt die Beziehung zwischen der angelegten Spannung und der Dehnungsakkumulation im Laufe der Zeit her. Zur Ermittlung der Kriechdehnung integriert das verwendete FEM-Programm Gl. (1) über der Zeit:
(2)
Das Modell geht davon aus, dass die Dehnungsakkumulation als Potenzfunktion der Zeit mit dem Exponenten s auftritt. Weiterhin ist über den Parameter n eine Abhängigkeit der Dehnungsakkumulation von der Spannung gegeben. Der Parameter A ist ein Skalierungsparameter der die Dehnung auf der y-Achse verschiebt. Das Modell beschreibt einen nichtlinearen Zusammenhang zwischen Dehnung, Spannung und Zeit. Die Terminologie time hardening leitet sich daraus ab, dass die Dehnung mit zunehmender Zeit einen degressiven Verlauf aufweist (0 < s ≤ 1), der Werkstoff sich also über der Zeit unterproportional verformt. Für den Fall, dass s den Wert 1 annimmt, ergibt sich eine lineare Abhängigkeit der Dehnung von der Zeit. Die Kriechrate ist dann pro Spannung konstant und das Bailey-Norton Modell geht in das Norton Modell über, das häufig zur Beschreibung von Kriechvorgängen bei metallischen Werkstoffen verwendet wird. Das Bailey-Norton Modell ist aufgrund seiner mathematischen Form geeignet die erste und zweite Kriechphase (Bild 1) abzubilden. Der Wiederanstieg der Kriechrate in der dritten Kriechphase bis zum Eintritt des Versagens kann das Modell nicht beschreiben. Diese Einschränkung des Gültigkeitsbereichs hat Konsequenzen für die Ermittlung der Modellparameter und die Auswertung der Simulationsergebnisse, wie weiter unten gezeigt wird.
Im Folgenden wird eine Schritt-für-Schritt-Vorgehensweise zur Bestimmung der Modellparameter und Anwendung des Modells vorgestellt.
Schritt 1: Generierung der Datenbasis
Idealerweise liegen aus einem Kriechversuch (Bild 2, oben links), Kriechkurven bei mindestens zwei besser drei Kriechspannungen vor (Bild 2, unten links). In der Praxis ist dies jedoch für einen gegebenen Kunststoff-Handelstyp oft nicht der Fall. Was allerdings für einige Handelstypen existiert [1], sind die sogenannten isochronen Spannungs-Dehnungs-Kurven (Bild 3). Diese Kurven können experimentell nicht direkt gemessen werden. Sie werden vielmehr aus Kriechkurven durch Tausch von Achsen- und Kurvenparametern erhalten (Bild 2, rechts) [2]. Insofern können aus einem isochronen Spannungs-Dehnungs-Diagramm über die inverse Vorgehensweise auch wieder Kriechkurven ermittelt werden. Da nun die isochronen Spannungs-Dehnungs-Kurven nur für einige wenige diskrete Zeiten vorliegen (Bild 3), ist es erforderlich zusätzliche Zeiten zu interpolieren, um einen glatten Kurvenverlauf der Dehnung über der Zeit zu erhalten. Eine solche Interpolation ist in der Regel nichtlinear durchzuführen. Außerdem ist es in der praktischen Durchführung ratsam die isochronen Spannungs-Dehnungs-Kurven zunächst mit einem geeigneten analytischen Modell zu beschreiben, um Interpolation und Rückrechnung der Kriechkurven mathematisch einfacher zu gestalten.
Für den Fall, dass weder Kriechkurven noch isochrone Spannungs-Dehnungs-Diagramme vorliegen, müssen Kriechkurven experimentell ermittelt werden. Unter Anwendung neuerer Verfahren, wie dem Time-Stress-Superposition Principle (TSSP) und der Stepped Isostress Method (SSM) kann die Ermittlung von Kriechkurven erheblich beschleunigt werden und damit innerhalb eines akzeptablen Kosten- und Zeitrahmens gehalten werden.
Schritt 2: Festlegung des Anpassungsbereichs
Wie bereits oben dargelegt, kann das Bailey-Norton Modell nur die erste und zweite Kriechphase (Bild 1) abbilden. Deshalb muss der Datenbereich, der dann im nachfolgenden Schritt zur Identifikation der Modellparameter verwendet wird, in der Regel eingeschränkt werden. Der Wiederanstieg der Kriechrate im Übergangsbereich von der zweiten zur dritten Kriechphase ist verursacht durch eine zunehmende Schädigung des Materials. Die Schädigung kann prinzipiell durch die Hinzunahme eines Schädigungsterms im Bailey-Norton Modell berücksichtigt werden [3]. Dies wäre dann aber nicht mehr konform mit dem originären Bailey-Norton Modell und damit nicht ohne Weiteres in einem FEM-Programm darstellbar. Interne Untersuchungen mit einem solchen erweiterten Modell zeigen, dass die Schädigung bereits vergleichsweise früh einsetzt. Es hat sich gezeigt, dass das Bailey-Norton Modell bis zu einer Schädigung von ca. D = 1% noch eine akzeptable Anpassung des Modells an die Messdaten ermöglicht (hier ist die Schädigungsvariable D gemeint, nicht die Dehnung!). Je nach anliegender Kriechspannung tritt diese Grenzschädigung, dann bei unterschiedlichen Zeiten auf (Bild 4, grüne Punkte). Was allerdings auch zu sehen ist, ist dass der Bereich der dazugehörigen „Grenzdehnungen“ vergleichsweise eng ist (Bild 4, grüne Punkte, links). Da nun in der Praxis der Wert der Schädigungsvariablen D nicht bekannt ist, kann als Näherung mittels MatScape eine spezifische langzeitige Grenzdehnung für einen Kunststoff-Handelstyp als Ersatz ermittelt werden (Bild 5).
Schritt 3: Ermittlung der Modellparameter (Kalibrierung)
Die Kalibrierung des Materialmodells erfolgt auf Basis der Gl. (2), also der Kriechkurven und nicht des Kriechratenverlaufs Gl. (1). Die Kriechkurven aus Schritt 1 unter Berücksichtigung von Schritt 2 können direkt verwendet werden. Wohingegen eine Anpassung der Modellparameter an den Kriechratenverlauf numerisch schwierig sein kann, wenn die Kriechkurven in Form von diskreten Messpunkten vorliegen. Durch die Differentiation der Kriechdehnung nach der Zeit wird oft eine Streuung der Datenpunkte verursacht. In der Regel können dann akzeptable Anpassungsergebnisse nur durch vorherige Glättung oder analytische Beschreibung der Kriechkurven erzielt werden.
Die Integrationskonstante in Gl. (2) ist theoretisch Null, da zum Zeitpunkt t=0 auch die Kriechspannung Null ist. Durch Logarithmierung kann dann Gl. (2) in linearer Form dargestellt werden:
(3)
Somit ist eine Anpassung über eine einfache multiple lineare Regression möglich. Dies setzt allerdings voraus, dass von den gemessenen Kriechkurven die spontanen Dehnungen, die beim Aufprägen der jeweiligen Kriechspannung auftreten, subtrahiert werden, so dass die reinen Kriechdehnungen verbleiben. Es müssen Kriechkurven bei mindestens zwei unterschiedlichen Kriechspannungen vorliegen, um die Abhängigkeit von der Spannung berücksichtigen zu können. Die Modellparameter müssen durch gleichzeitiges Anpassen unter Berücksichtigung aller Kriechkurven ermittelt werden. Mathematisch betrachtet wird über die Modellparameter eine 3D-Fläche beschrieben mit den x-y-Achsen Zeit und Spannung und der z-Achse Dehnung. Die ermittelten Modellparameter B, n, s beschreiben dann das Kriechverhalten innerhalb des aufgespannten Parameterraums.
In Bild 6 ist das Ergebnis einer Modellanpassung zu sehen. In Bild 6, links wurden fünf Kriechkurven im Bereich von 7 MPa bis 21 MPa verwendet. In Bild 6, rechts wurden nur drei Kriechkurven im Bereich von 7 MPa bis 14 MPa zur Kalibrierung verwendet. Deutlich zu erkennen ist, dass die Anpassungsgüte mit dem größeren Kriechspannungsbereich (Bild 6, links) schlechter ist. Dies ist dadurch verursacht, dass die Kriechkurven bei den höheren Kriechspannungen schon den Bereich größerer Schädigung erreichen. Dies ist über das Bailey-Norton Modell nicht mehr darstellbar und die Anpassungsgüte des Gesamtmodells reduziert sich gegenüber dem eingeschränkten Kriechspannungsbereich (Bild 6, rechts). Hieraus ist für die praktische Anwendung abzuleiten, dass der Bereich der für die Kalibrierung verwendeten Kriechspannungen nicht zu weit vom angenommenen Spannungsbereich im Bauteil entfernt liegen sollte. Zu hoch gewählte Kalibrierspannungen reduzieren unnötigerweise die Anpassungsgüte.
Die oben getroffene Annahme, dass die Integrationskonstante in Gl. (2) Null ist, trifft nur unter idealen Bedingungen zu. Bei der praktischen Durchführung des Kriechversuchs kann die Kriechspannung nie innerhalb einer theoretischen Nullzeit (Sprungfunktion) aufgeprägt werden. Insofern wird der Zeitraum bis zum Erreichen der Kriechspannung experimentell unsauber abgebildet. Es liegt hier ein Mischzustand aus zeitunabhängigen spontanen elastischen und plastischen Dehnungen und zeitabhängigen viskosen Dehnungen vor. Die Anwendung nichtlinearer Anpassungsverfahren wie z.B. dem Levenberg-Marquardt Verfahren oder gradientenfreier Simplex-Verfahren können dann zu besseren Anpassungsergebnissen führen als einfache lineare Regressionsverfahren.
Schritt 4: Modellvalidierung und Durchführung der FEM-Simulation
Alle Kriechmodelle, so auch das Bailey-Norton Modell, beschreiben ein ideal-visko-plastisches Werkstoffverhalten. Einmal eingetretene zeitabhängige plastische Dehnungen (viskose Dehnungen) stellen sich bei einer Lastrücknahme nicht mehr zurück und verbleiben im Material. Dies bedeutet, dass diese Modelle nur für monoton steigende Lasten (also gleichbleibende oder zunehmende Lasten) geeignet sind, wie z.B. Bauteile unter lastgesteuerter Kraft oder Druck. Das Modell kann auch für Relaxationsvorgänge, also verformungsgesteuerte Analysen, eingesetzt werden. Dies wird hier jedoch nicht weiter betrachtet.
Grundsätzlich erfordert die Simulation zwei Schritte. In einem ersten zeitunabhängigen Berechnungsschritt wird die Last aufgeprägt. In einem darauffolgenden zweiten Schritt wird die Last konstant gehalten und die zeitabhängige Deformation des Bauteils unter dieser Last berechnet. Augenmerk ist hierbei auf das Aufprägen der Last im ersten Berechnungsschritt zu legen. Das Materialmodell hierfür kann entweder elastisch oder elasto-plastisch gewählt werden. Wenn die Last bzw. die daraus im Bauteil resultierenden Spannungen vergleichsweise hoch sind, also bis in den Bereich plastischer Verformungen gehen, sollte elasto-plastisch gerechnet werden. Das verwendete elasto-plastische Materialmodell muss dann konsistent sein zum verwendeten Kriechmodell. D.h. im Rahmen einer Modellvalidierung durch Nachrechnen des Kriechversuchs müssen die ersten Dehnungswerte zum Zeitpunkt t1 > 0 der zugrunde gelegten gemessenen Kriechkurven, pro Kriechspannung am Ende des ersten Berechnungsschritts erreicht werden. Von dort aus beginnt dann der Kriechvorgang. Da es sich bei Kriechmodellen um zeitabhängige Materialmodelle handelt, ist die in der FEM-Analyse verwendete Zeitinkrementierung physikalisch zu interpretieren. Ist beispielsweise das Materialmodell in der Einheit Sekunden kalibriert, muss auch die FEM-Analyse in dieser Zeiteinheit erfolgen. Ebenso sind die Zeitbasen zum Aufprägen der Last im ersten Berechnungsschritt und dem Kriechen im zweiten Berechnungsschritt aufeinander abzustimmen.
Schritt 5: Auswertung
Im Rahmen der oben dargestellten Materialmodellkalibrierung wurden Annahmen getroffen, die Einfluss auf die Interpretation der Simulationsergebnisse haben. Das Ziel einer FEM-Analyse mit Kriechmodell, ist die Darstellung eines zeitabhängigen Deformationsverlaufs eines Bauteils oder die Ermittlung des Zeitpunkts des Bauteilversagens unter langzeitiger Last. Ggf. sind auch beide Aspekte von Interesse.
Zunächst wird betrachtet inwieweit die erhaltenen Deformationen bzw. Dehnungen verlässlich sind. Eine der wesentlichen Einschränkungen, die getroffen wurden war, dass das Bailey-Norton Modell nur bis zu einer bestimmten abgeschätzten Grenzdehnung bzw. Zeit pro Kriechspannung gültig ist. Darüber hinaus werden Schädigungsphänomene zunehmend dominant. Die berechneten Dehnungen bleiben hinter den tatsächlichen Dehnungen zurück. In Bezug auf die Bauteildeformation ist deshalb das Modell streng genommen nur bis zur kürzesten verwendeten Kalibrierzeit bzw. Kriechkurve gültig. Im Bauteil sollte die Dehnungsverteilung betrachtet werden, sind nur kleine Bereiche des Bauteils, z.B. in Kerben, jenseits der angenommenen Grenzdehnung beansprucht, so haben diese hochbeanspruchten Bereiche eher weniger Einfluss auf die Bauteilgesamtdeformation. Sind hingegen tragende Bauteilquerschnitte durchgängig überkritisch gedehnt, ist eine schärfere Auslegung der Gültigkeitsgrenzen des Modells anzusetzen.
In Bezug auf den Versagenseintritt in Folge Fließens oder Bruch, sind andere Überlegungen zu machen. Bei einem Kriechlastfall handelt es sich um eine lastgesteuerte Analyse handelt, d.h. die Last (Kraft, Druck) wird vorgegeben und die Deformation resultiert. Damit kann näherungsweise davon ausgegangen werden, dass zu jedem Zeitpunkt und an jedem Ort im Bauteil die Spannung richtig berechnet wird. Spannungsumlagerungen infolge von Deformationen werden hierbei nicht berücksichtigt. Nicht korrekt berechnet werden hingegen die Dehnungen bzw. Deformationen außerhalb des Kalibrierbereichs des Materialmodells, wie im vorhergehenden Abschnitt bereits dargelegt. Hiermit ist jedoch eine Aussage zum Versagenseintritt bei lokal jeweils (näherungsweise) korrekt berechneter Spannung möglich. Die hierzu erforderliche maßgebliche Werkstoffkurve ist das sogenannte Zeitstanddiagramm (Bild 2, links unten). Insofern der Kriechversuch bis zum Versagenseintritt durchgeführt wurde, können pro Kriechspannung die gemessenen Versagenszeiten ermittelt und gegeneinander aufgetragen werden. Ist nun ein solches Diagramm vorhanden und aus der FEM-Analyse liegt eine lokale Bauteilspannung vor, so kann für diesen Nachweispunkt über das Zeitstanddiagramm eine zugehörige Versagenszeit ermittelt werden. In dieser Art kann ein Lebensdauer-Konturplot erstellt werden. In der Praxis ist allerdings ein häufiges Problem, dass ein solches Zeitstanddiagramm nicht existiert, da naturgemäß dessen Ermittlung sehr aufwändig ist.
Fazit
Obschon der Ablauf der Kalibrierung eines Bailey-Norton Kriechmodells in diesem Artikel strukturiert dargelegt ist, steckt wie so oft auch hier der Teufel im Detail. Der Aufwand zur Kalibrierung ist erheblich. Ist der Prozess nicht eingeübt oder wurde nicht in einer Software implementiert, ist die Durchführung ineffizient und fehleranfällig. Unter diesen Randbedingungen ist eher zu empfehlen im Rahmen von Optimierungen oder Konzeptstudien auf Basis einfacher FEM-Simulationen mit linear-elastischem oder elastisch-plastischem isotropen Materialmodell abschätzende Analysen durchzuführen. Vorgehensweisen hierzu sind in unserem Blog-Artikel „Simulation des langzeitigen Verhaltens von Kunststoffbauteilen“ dargestellt.
Ist dennoch die Verwendung eines Kriechmodells unablässig, so wird in zukünftigen Versionen unseres in den Softwareprodukten Converse und S-Life Plastics integrierten Materialmodellierungs-Moduls MatScape der oben dargestellte Kalibrierungsprozess unterstützt. Converse und S-Life Plastics können entweder direkt über PART Engineering oder auch über die Altair Partner Alliance bezogen werden. Auch bei der experimentellen Ermittlung von Kriechkurven mit zeitraffenden Verfahren unterstützen wir Sie gerne, sprechen Sie uns an.
[1] CAMPUS - a material information system for the plastics industry.
[2] M. Stommel, M. Stojek, und W. Korte: FEM zur Berechnung von Kunststoff- und Elastomerbauteilen, 2. Aufl. München: Carl Hanser Verlag, 2018. Hier erhältlich
[3] W. Korte, F. Achereiner: Computational and Experimental Determination of Long-Term Material Properties for Plastics, NAFEMS World Congress, Tampa, Florida, USA, 2023
Autor: Dr. Wolfgang Korte ist Geschäftsführer bei der PART Engineering GmbH, Bergisch Gladbach
